1. Génération des données

Au moyen de la fonction rnorm(), tirez deux échantillons de taille \(n_1 = n_2 = 10\) à partir de populations normales de moyennes \(\mu_1 = \mu_2 = 7\) et d’écart-types \(\sigma_1 = \sigma_2 = 2\).

n1 <- 10 ## Taille du premier échantillon
n2 <- 10 ## Taille du second échantillojn
mu1 <- 7 ## Moyenne de la 1ère population
mu2 <- 7 
sigma1 <- 2 ## Ecart-type de la popumation 1
sigma2 <- 2

## On tire des échantillons des deux populations respectives
x1 <- rnorm(n = n1, mean = mu1, sd = sigma1)
x2 <- rnorm(n = n2, mean = mu2, sd = sigma2)

3. Calcul manuel des statistiques de Student

1. Au moyen de la fonction R sum(), calculez les paramètres de vos échantillons nécessaires au test de Student (\(\bar{x}_1, \bar{x}_2, s_1, s_2\)).

n1 <- length(x1) ## Taille d'échantillon
m1 <- sum(x1) / n1 ## Moenne du premier échantillon
s1 <- sqrt(sum((x1 - m1)^2)/n1) ## Ecart-type du premier échantillon

## Idem pour le second échantillon
n2 <- length(x2) 
m2 <- sum(x2) / n2
s2 <- sqrt(sum((x2 - m2)^2)/n2)

## Afficher les paramètres des échantillons
cat("n1 =", n1, "; m1 =", round(digits=2, m1), "; s1 = ", round(digits=2, s1))

n1 = 10 ; m1 = 7.39 ; s1 =  1.92

cat("n2 =", n2, "; m2 =", round(digits=2, m2), "; s2 = ", round(digits=2, s2))

n2 = 10 ; m2 = 7.38 ; s2 =  1.82

2. Au moyen de cette même fonction sum(), estimez les estimateurs de ces paramètres pour les populations (\(\hat{\mu}_1, \hat{\mu}_2, \hat{\sigma}_1, \hat{\sigma}_2\)).

## Estimation des moyennes de population
mu1.est <- m1
mu2.est <- m2

## Estimation des écarts-types
sigma1.est <- s1 * sqrt(n1/(n1-1))
sigma2.est <- s2 * sqrt(n2/(n2-1))

## Afficher les paramètres estimés pour la population
cat("mu1.est = ", round(digits=2, mu1.est), "sigma1.est", round(digits=3, sigma1.est))

mu1.est =  7.39 sigma1.est 2.025

cat("mu2.est = ", round(digits=2, mu2.est), "sigma2.est", round(digits=3, sigma2.est))

mu2.est =  7.38 sigma2.est 1.917

3. Recalculez ces paramètres au moyen des fonctions R mean() et sd().

mean1 <- mean(x1)
mean2 <- mean(x2)
sd1 <- sd(x1)
sd2 <- sd(x2)

cat("mean1 = ", round(digits=2, mean1), "sd1", round(digits=2, sd1))

mean1 =  7.39 sd1 2.03

cat("mean2 = ", round(digits=2, mean2), "sd2", round(digits=2, sd2))

mean2 =  7.38 sd2 1.92

## Print the result for the knitr report
result <- t(data.frame(
  "moyennes de populations" = c(mu1, mu2),
  "moyennes d'échantillons" = c(m1, m2),
  "moyennes estimées" = c(mu1.est, mu2.est),
  "écarts-types de population" = c(sigma1, sigma2),
  "écarts-types d'échantillons" = c(s1, s2),
  "écarts-types estimés" = c(sigma1.est, sigma2.est)))
colnames(result) <- c("Population 1", "Population 2")

kable(as.data.frame(result), digits = 2, caption = "Estimation des paramètres de centralité (moyenne) et dispersion (écart-type) des populations à partir des échantillons. ")

Attention, les fonctions R var() et sd() ne calculent pas les paramètres d’échantillons (\(s^2\), \(s\)) mais les estimateurs des paramètres de population correspondants (\(\hat{\sigma}^2\), \(\hat{\sigma}\)).

4. Sur base de ces paramètres, calculez la statistique \(t_{obs}\) de Student. Justifiez le choix des paramètres que vous choisirez pour cette fonction.

\[t_{S} = \frac{\hat{\delta}}{\hat{\sigma}_\delta} = \frac{\bar{x}_{2} - \bar{x}_{1}}{\sqrt{\frac{n_1 s_{1}^2 + n_2 s_{2}^2}{n_1+n_2-2} \left(\frac{1}{n_1}+ \frac{1}{n_2}\right)}}\]

## Difference between sample means
diff <- m1 - m2

## Estimation of the standard error on the difference between sample means
Student.diff.err <- sqrt((1/n1 + 1/n2) * (n1 * s1^2 + n2 * s2^2) / (n1 + n2 - 2))

## Student statistics
Student.t <- diff / Student.diff.err


## Print Student statistics with 5 significant digits
cat("Student statistics  t =", signif(digits=5, Student.t))

Student statistics  t = 0.0083914

5. Avec la fonction \(pt()\), calculez la p-valeur de cette valeur \(t\).

6. Interprétez les résultats (décision, interprétation de la p-valeur).

4. Mesure empirique du taux de faux-positifs

Dans cet exercice, nous allons réaliser un grand nombre de tests de Student en nous plaçant sous hypothèse nulle, et compter le nombre de tests retournant une réponse positive.

1. Avant de commencer l’expérience, indiquez le nombre de faux positifs attendus a prior si l’one ffectue \(R = 10^{4}\) tests sous hypothèse nulle, avec un seuil critique de \(\alpha= 0.05\).

2. Répétez 10^{4} fois le test de Student au moyen de la fonction t.test() et récupérez dans deux vecteurs séparés les valeurs rapportées pour la statistique \(t\) et pour la \(p\) valeur.

3. Dessinez l’histogramme des valeurs \(t\) obtenues empiriquement.

4. Calculez la proportion de faux-positifs. Cette proportion correspond-elle à vos attentes ?