Simulations : tirages aléatoires

On dispose d’un ensemble de \(n=5\) éléments (A, B, C, D, E).

  1. Effectuer \(r = 10.000\) tirages aléatoires sans remise, de \(x = 2\) éléments.
dataset <- c("A", "B", "C", "D", "E")

r <- 10000            ## Number of repetition of the experiment
n <- length( dataset) ## Set size
x <- 2                ## Selection size

ordered <- c()
orderless <- c()
for (i in 1:r) {
  selection <- sample(x = dataset, size = 2)
  new.result.ordered <- paste(selection, collapse=" ")
  ordered <- append(ordered, new.result.ordered)

  new.result.orderless <- paste(sort(selection), collapse=" ")
  orderless <- append(orderless, new.result.orderless)
}
  1. Compter le nombre de sous-ensembles différents en tenant compte de l’odre.
kable(table(ordered))
ordered Freq
A B 531
A C 481
A D 534
A E 513
B A 460
B C 473
B D 513
B E 483
C A 494
C B 505
C D 501
C E 531
D A 525
D B 479
D C 524
D E 479
E A 483
E B 467
E C 499
E D 525 
length(unique(sort(ordered)))
## [1] 20
  1. Compter le nombre de sous-ensembles différents en ne tenant pas compte de l’odre.
kable(table(orderless))
orderless Freq
A B 991
A C 975
A D 1059
A E 996
B C 978
B D 992
B E 950
C D 1025
C E 1030
D E 1004 
length(unique(sort(orderless)))
## [1] 10

  1. Comparer les résultats empiriques avec les calculs théoriques.

  2. Sans les énumérer (ce serait impossible), dénombrez les possibilités de tirages de \(x=27\) gènes parmi \(n=25000\), en tenant compte de l’ordre ou sans en tenir compte.

x <- 27
n <- 25000

## Nmombre de tirages sans tenir compte de l'ordre
n.orderless <- choose(n=n, k = x)

## Nombre de tirages en tenant compte de l'ordre
n.ordered <- n.orderless * factorial(x)

Devoir-maison: chapitre analyse combinatoire

  1. Relire – lentement et en comprenant chaque étape – le diaporama “Analyse combinatoire”.

  2. Reprenez chacun des exercices vus au cours

Dans chaque cas, indiquez

  • le type de tirage en le justifiant,
  • les valeurs ds paramètres (n, x, …)
  • la formule combinatoire (tirée du formulaire), en remplaçant les paramètres par les valeurs particulières de l’exercice.
  1. Résolvez la question de l’examen du 22 janvier comme si vous y étiez.