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# Combinatoire

| Nom | Conditions | Formule |
|---------------|---------------------|----------------------|
| Permutations (factorielle) |  | $\left\{ \begin{array}{ll}  0! = 1 \\ n! = n \cdot (n-1)! & \forall \, n \ge 1 \end{array} \right.$ |
| Arrangements | Sans remise, ordonné | $A^x_n = \frac{n!}{(n - x)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-x+1)$   |
| Combinaison (*choose*, *coefficient binomial*) | Sans remise, sans ordre | $\binom{n}{x} = C^x_n = \frac{n!}{x! (n-x)!}$  |
| | | |

# Concepts de probabilité

| Description | Conditions | Formule |
|--------------------|---------------|--------------------------------|
|  Définition fréquentielle de la probabilité  |  | $P(A) = \lim_{n \to \infty}\frac{n_{A}}{n}$ |
| | | |
| Probabilité de non-réalisation | | $P(\lnot A) = 1 - P(A)$ |
| | | |
| Probabilités conditionnelles | |  $P(A \mid B) = \frac{P(A \land B)}{P(B)}$|
|  | |  $P(B \mid A) = \frac{P(A \land B)}{P(A)}$|
| | | |
| Probabilité de $A$ ou $B$ | En général |  $P(A \lor B) = P(A) + P(B) - P(A \land B)$ |
| | | |
| Probabilité de $A$ ou $B$ | Evénements mutuellement exclusifs |  $P(A \lor B) = P(A) + P(B)$ |
| | | |
| Probabilité de $A$ et $B$ | En général |  $P(A \land B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$ |
| | | |
| Probabilité de $A$ et $B$ | Evénements indépendants |  $P(A \land B) = P(A) \cdot P(B)$ |
| | | |
| Règle de Bayes |  |  $P(A \land B) = P(A)\cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B)$ |
|  |  |  $\implies P(A \mid B) = \frac{P(A) \cdot P(B \mid A)}{P(B)}$ |
| | | $\implies P(B \mid A) = \frac{P(B) \cdot P(A \mid B)}{P(A)}$  |
| | | |

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# Distributions de probabilité discrètes

## Géométrique

- Conditions : nombre d'échecs avant le premier succès dans un schéma de Bernoulli
- Densité : $$P(X = x) = (1-p)^xp$$
- Répartition : $$P(X \le x) = \sum\limits_{i=0}^{x}{(1-p)^ip}$$
- Moyenne : $\mu_G = (1-p)/p$
- Variance : $\sigma^2_G = \frac{(1-p)}{p^2}$

## Binomiale

- Conditions : Nombre de succès au cours d'une série d'essais indépendants avec probabilité constante de succès (Schéma de Bernoulli)
- Densité : $$P(X = x) = C_n^x p^x (1-p)^{n-x}$$
- Répartition : $$P(X \le x = \sum\limits_{i=0}^{x}{C_n^ip^i(1-p)^{n-i}}$$
- Moyenne : $\mu_{B} = np$
- Variance : $\sigma^2_B = np(1-p)$ 
- Rapport moyenne/variance:  $\sigma^2_B < \mu_B$

## Poisson

- Conditions : nombre de succès observés au cours d'un intervalle de temps, en fonction du nombre attendu ($\lambda$)
- Application : approximation de la binomiale quand $n \to \infty, p \to 0$ et  $\mu = np$ faible ($\mu_B \to \lambda$)
- Densité : $$P(X=x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}$$
- Répartition : $$P(X \le x) = \sum\limits_{i=0}^x\frac{e^{-\lambda}\lambda^i}{i!}$$
- Moyenne : $\mu_P = \lambda$
- Variance : $\sigma^2_P = \lambda$ 
- Rapport moyenne/variance: $\sigma^2_P = \mu_P$

\newpage

## Hypergéométrique

- Conditions : Tirage non ordonné, sans remise dans un ensemble fini avec deux catégories.
- Exemple-type: urne avec boules de deux couleurs
- Densité : $$P(X = x) = \frac{C^x_{m}C^{k-x}_{n}}{C^k_{m+n}}$$
- Répartition : $$P(X \le x = \sum\limits_{i=x}^{\text{min}(k,m)} \frac{C^i_{m}C^{k-i}_{n}}{C^k_{m+n}}$$
- Moyenne : $\mu_H = k \cdot \frac{m}{m+n}$
- Variance : $\sigma^2_H = \frac{k\frac{m}{N}(1-\frac{m}{N})(N-k)}{(N -1)}; N=m+n$

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| Distribution | Applications| Densité | Répartition | Moyenne | Variance |
|---------------|-------------------|---------------–|--------------|---------------|-------------|
| | | | | | |

| | $P(X \le x)$ | $E[X]$
| $V[X]$ |


|  Geometric| Waiting time ($x$ failures before success)| $(1-p)^xp$| $\sum\limits_{i=0}^{x}{(1-p)^ip}$| $(1-p)/p$| $\frac{(1-p)}{p^2}$ |
  \hline 
|  Geometric| Waiting time ($x$ successes before failure)| $p^x(1-p)$| $\sum\limits_{i=0}^{x}{p^i(1-p)}$| $p/(1-p)$| $\frac{p}{(1-p)^2}$ |
|  Hypergeometric| Orderless, without replacement| $\frac{C^x_{m}C^{k-x}_{n}}{C^k_{m+n}}$| $\sum\limits_{i=x}^{\text{min}(k,m)} \frac{C^i_{m}C^{k-i}_{n}}{C^k_{m+n}}$| $k \cdot \frac{m}{m+n}$ | $\frac{k\frac{m}{N}(1-\frac{m}{N})(N-k)}{(N -1)}; N=m+n$ |
|  Binomial| Bernoulli schema| $C_n^x p^x (1-p)^{n-x}$| $\sum\limits_{i=0}^{x}{C_n^ip^i(1-p)^{n-i}} $| $np$| $np(1-p)$ |
|  Exponential| | $\left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x} &,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$
| $\left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x}&,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$
  & $1/\lambda$
  & $1/\lambda^2$ |
|  Poisson
  & $n \to \infty, p \to 0, np$ small
  & $\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}$
  & $\sum\limits_{i=0}^x\frac{e^{-\lambda}\lambda^i}{i!}$
  & $\lambda$
  & $\lambda$ |
|%   Compound Poisson
%   & \tbw
%   & \tbw
%   & \tbw
%   & \tbw
%   & \tbw|
% 
|  Normal (Gaussian)
  &
  & $\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x - \mu}{\sigma})^2}$
  & $\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{1}{2}(\frac{u - \mu}{\sigma})^2}\, du$
  & $\mu$ 
  & $\sigma^2$ |
|  Standard Normal
  & $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$
  & $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}$
  & $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{z} e^{-\frac{u^2}{2}}\, du$
  & $0$ 
  & $1$ |
|  Student 
  & Error on the mean, when $\sigma$ is unkown
  & $f(t) = c(1 + t^2/k)^{-(k + 1)/2}$
  & 
  & $0$
  & $\frac{k}{k-2}$|

-->

# Echantillonnage et estimation

- Les symboles grecs ($\mu$, $\sigma$) correspondent aux statistiques de population, les symboles romains ($\bar{x}$, $s$) aux statistiques d'échantillon.
- L'accent circonflexe ($\hat{ }$) indique les estimateurs de paramètres de population calculés à partir de paramètres d'échantillons. 

| Symbole      | Description   |
|-------------------------------------|--------------------------------------|
| $N$ | Taille (nombre d'individus) de la population. |
| | |
| $\mu = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}{x_i}$ | Moyenne de la population. |
| | |
| $\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}{(x_i - \mu)^2} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}{x_i^2 - \mu^2}$ | Variance de la population |
| | |
| $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ | Écart-type de la population |
| | |
| $n$ | Effectif (nombre d'individus) de l'échantillon. |
| | |
| $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}{x_i}$ | Moyenne d'échantillon. |
| | |
| $s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}{(x_i - \bar{x})^2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}{x_i^2 - \bar{x}^2}$ | Variance de l’échantillon |
| | |
| $s = \sqrt{s^2}$ | Écart-type de l'échantillon |
| | |
| $\hat{\sigma^2} = \frac{n}{n-1} s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}{(x_i - \bar{x})^2}$ | Estimateur non-biaisé de la variance de la population. |
| | |
| $\hat{\sigma} = \sqrt{\hat{\sigma}^2}$ | Estimateur non-biaisé de l'écart-type de la population. |
| | |
| $<\sigma_{\bar{X}}> = \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}$ | Erreur standard: écart-type attendu sur la moyenne d'échantillon. |
| | |
| $\bar{x} \pm \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt(n)} \cdot t_{1-\alpha/2}^{n-1}$ | Intervalle de confiance autour de la moyenne. |
| | |

\newpage
# Test de comparaison de moyennes

| Symbole      | Description   |
|----------------------------|--------------------------------------|
| $\mu_{1},  \mu_{2}$ | Moyennes respectives des populations 1 et 2. |
| | |
| $\sigma_{1}, \sigma_{2}$ | Écarts-types respectifs des populations 1 et 2. |
| | |
| $n_1$, $n_2$ | Effectifs (nombre d'individus) des échantillons prélevés sur les populations 1 et 2. |
| | |
| $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$ | Formule générale de la moyenne d'échantillon |
| | |
| $\bar{x}_{1}, \bar{x}_{2}$ | Moyennes d'échantillons. |
| | |
| $\delta = \mu_{2} - \mu{1}$ | Différence entre les moyennes des populations. |
| | |
| $d = \hat{\delta} = \hat{\mu}_2 - \hat{\mu}_1  = \bar{x}_2 - \bar{x}_1$ | $d$ = **Taille d'effet**: dans un test de comparaison de moyennes, il s'agit de la différence entre les moyennes d'échantillons, utilisée comme estimateur de $\delta$. |
| | |
| $s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 =  \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 - \bar{x}^2$ | Formule générale de la variance d'échantillon |
| | |
| $s^2_{1}, s^2_{2}$ | Variances mesurées sur les échantillons. |
| | |
| $\hat{\sigma}_p = \sqrt{\frac{n_1 s_1^2 + n_2 s_2^2}{n_1+n_2-2}}$ | Écart-type groupé (*pooled standard deviation*), utilisé comme estimateur de l'écart-type commun des deux populations, en supposant leurs variances égales (hypothèse de travail d'homoscédasticité). |
| | |
| $\hat{\sigma}_\delta = \hat{\sigma}_p \sqrt{\left(\frac{1}{n_1}+ \frac{1}{n_2}\right)}$  | Erreur standard sur la différence entre moyennes, en supposant que les populations ont la même variance (test de Student). |
| | |
| $t_{S} = \frac{\hat{\delta}}{\hat{\sigma}_\delta} =  \frac{\bar{x}_{2} - \bar{x}_{1}}{\sqrt{\frac{n_1 s_{1}^2 + n_2 s_{2}^2}{n_1+n_2-2} \left(\frac{1}{n_1}+ \frac{1}{n_2}\right)}}$ | Statistique $t$ de Student, $\nu = n_1 + n_2 - 2$ d.l. |
|  | |
| $t_{W}=\frac{\bar{x}_{1} - \bar{x}_{2}}{\sqrt{\frac {\hat{\sigma}^2_{1}}{n_1} + \frac{\hat{\sigma}^2_{2}}{n_2}}}$ | Statistique $t$ de Welch,  $\nu = \frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{s_1^4}{n_1^2(n_1-1)} + \frac{s_2^4}{n_2^2(n_2-1)}}$ d.l. |
|  | |

